05 - PRODUTO CARTESIANO

PRODUTO CARTESIANO


PAR ORDENADO

Observe a disposição dos cartões na figura abaixo:

- O cartão A está situado na terceira linha e segunda coluna. Vamos indicar esse fato por : (3,2).

- O cartão B está na segunda linha e terceira coluna. Vamos indicar esse fato por : (2,3).

Como os cartões ocupam lugares diferentes, é facil perceber que:

Observe que um par ordenado é indicado entre parentesese os elementos são separados por virgulas

IGUALDADE DE PARES ORDENADOS

Dois pares ordenados são iguais somente se tiverem os primeiros elemetos iguais entre si e também os segundos elementos iguais entre si

assim;

exemplos:

Determinar x e y de modo que os pares ordenados (2x + 7 , 5y - 9) e ( x + 3, 3y - 3)

solução:

(2 + 7, 5y - 9) = (x + 3 , 3y -3 )

então:

EXERCÍCIOS

1) Copie e complete com os símbolos = ou ≠ :

a) (6,0).........(0,6) (R: ≠)
b) 5, -1)......... (5,-1) (R: =)
c) (2,5)................(6/3,10/2) (R: =)
d) (-3,8)...............(8,-3) (R: ≠)
e) (-4,-2)..........(-2,-4) (R: ≠)


2) Determine x e y para que cada uma das igualdades sejam verdadeiras:

a) (x, y) = (8,-6) (R= 8 e -6)
b) (6, y) = (x, 0 ) (R = 6 e 0)
c) ( x , -4) = (-3 , y) (R= -3 e -4)
d) (2x, -5) = ( 8, y) (R= 4 e -5)
e) (x,y +2) = (5,9) (R= 5 e 7)
f) (3x,2y) = (-12, -6) (R= -12 e -6)
g) (x-y, 5) = (0,y) (R= 5 e 5)
h) (x + 1, y -1) = (3, 7) (R= 2 e 8)


PLANO CARTESIANO


Consideremos duas retas numeradas (perpendiculares), denominadas eixos, que se interceptam no ponto zero (origem)

A representação de um ponto no plano é feita por meio de dois números reais:
-- O primeiro número do par ordenado chama-se abscissa do ponto
-- O segundo número do par ordenado chama-se ordenada do ponto

Exemplos

Vamos representar os seguintes pares ordenados:

QUADRANTES

As retas x e y dividem o plano cartesiano dem quatro regiões chamadas quadrantes, que são numeradas conforme a figura abaixo.

A seguir, indicamos os sinais da abscissas e das ordenadas em cada quadrante:

1º quadrante ( +,+)
2º quadrante ( - , +)
3º quadrante ( - , -)
4º quadrante (+ , -)


Convencionou-se que os pontos situados sobre os eixos não pertencem a nenhum dos quadrantes.

Obsevações:


- Os pontos pertencentes ao eixo x têm ordenada nula. Vamos representar os pares:

- Os pontos pertencem ao eixo y têm abscissa nula . Vamos representar os pontos:

EXERCICIOS

1)  Dê as coodenadas de cada ponto do plano cartesiano:
















R: (A=5,2) (B = 0,5) (C = -3,3) (D= -4,0) (E= -5,-4) (F= 0,-2) (G=3, -6) (H = 3 ,0)


2) Represente os planos cartesiano , os pontos:

- A (3,4)
- B (4,3)
- C (-4,1)
- D (-2,5)
- E (-3,-4)
- F (-2,-1)
- G (3,-2)
- H (4,-1)
- I (5,2)
- J (-1,-2)
- L (-3,1)
- M (5,-1)

3) No exercício anterior:

a) Quais os pontos que pertencem ao 1º quadrante? (R: A,B,I)
b) Quais os pontos que pertencem ao 2º quadrante? (R: C,D,L)

c) Quais os pontos que pertencem ao 3º quadrante? (R: E,F,J)

d) Quais os pontos que pertencem ao 4º quadrante? (R: G,H,M)

4) Represente no plano cartesiano, os pontos:

- A (5,0)

- B (1,0)

- C (-3,0)

- D (0,4)

- E (0,1)

- F (0,-4)

5) No exercício anterior

a) Quais os pontos  que pertencem ao eixo x? (R:A,B,C)

b) Quais os pontos que pertencem ao eixo y? (R: D,E,F)

PRODUTO CARTESIANO

Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Chama-se produto cartesiano de A e B ao conjunto de todos os pares ordenados onde o primeiro elemento pertence a A e o segundo elemento pertence B.

Indicamos A x B e lemos " A cartesiano B"


Exemplo:

Sendo A= { 1,2} e B = {3,4,5}, temos

--A x B = { (1,3),(1,4) , (1,5), (2,3), (2,4),(2,5)}
--B x A = { (3,1) ,(3,2), (4,1), (4,2), (5,1) , (5,2)}

Observe que, em geral : A x B ≠ B x A

Ilustrandro

DIAGRAMA DE FLECHAS

O produto cartesiano também pode se representado por diagramas de flechas.

Exemplo:

Dados os conjuntos A = {1,2} e B = { 5,6,7}

Então A x B = { (1,5),(1,6), (1,7) ,(2,5),(2,6), (2,7)}

Obeserve no diagrama de flechas acima que:

-- O conjunto A tem 2 elementos.
-- O conjunto B tem 3 elementos
-- O conjunto de elemntos de A x B é : 2 x 3 = 6

Conclusão:

O número de elementos de Ax b é igual ao número de elementos de a vezes o número de elementos de B

EXERCÍCIOS

1) Se A={4,6}, B= (-3) e C = { 0,-8}, determine:

a) A x C
b) C x A
c) A x B
d) B x A
e) C x B
f) B x C
g) A x A
h) B x B

2) Sendo A = {-1, 0, 1} e B = { 7, 9}, determine A x B e B x A


3) Se um conjunto A possui 3 elementos e um conjunto B possui  4 elementos de o número de elemntos de cada um dos conjuntos:

a) A x B
b) B x A
c) A x A
d) B x B